Pierre Maranda

Anthropologie, retraité de l’enseignement, Université Laval

“Cendrillon:
théorie des graphes
et des ensembles.”

Un article publié dans l'ouvrage collectif présenté par Claude Chabrol, Sémiotique narrative et textuelle, pp. 122-136. Paris : Librairie Larousse, 1973, 223 pp. Collection “L”.

Mon objectif [1] est de proposer une hypothèse de travail pour l'analyse du discours folklorique. Je définis celui‑ci comme l'univers de mythes, contes, légendes, proverbes, et autres genres traditionnels. Mon esquisse s'inscrit dans la ligne des travaux de Lévi-Strauss, de l'ouvrage Structural Models in Folklore and Transformational Essays, et elle a plusieurs points en commun avec les contributions de Greimas, V. Morin, H. Milner, et, plus particulièrement, de Köngäs Maranda, « La Structure des énigmes ».

L'hypothèse de travail que je proposerai est un essai de définition de la structure élémentaire du conte Cendrillon (Aarne-Thompson, 510) ; si elle peut aussi servir de critère taxinomique, c'est par-dessus le marché (v. infra, 4.4). À cet égard, la définition est en rapport, d'une part, avec la proposition de Mallarmé et, de l'autre, avec la formule canonique de Lévi-Strauss. On se rappelle que le premier, dans sa correspondance avec Verlaine, suggérait qu'il n'existe qu'un seul mythe au monde, sous-jacent à la poésie écrite comme aux traditions orales, à savoir la réponse à l'interrogation « pourquoi l'homme doit-il mourir ? » On sait aussi que le second a exprimé, dans une métaphore d'allure algébrique, et qui semble aussi énigmatique que les mythes eux‑mêmes, une théorie reposant sur une double inversion.

Le métalangage que j'utiliserai au cours de cette excursion métamythique sera rudimentaire ; il servira de point de départ pour des analyses plus rigoureuses, je l'espère.

[123]

Je procéderai au moyen d'une analyse transformationnelle par réduction pour en arriver à une fonction centrale. Mais puisque l'analyse transformationnelle repose essentiellement sur la théorie des ensembles, c'est par là qu'il faudra passer. La théorie des graphes, à son tour, permet de formuler certaines relations utiles à notre traitement : j'y aurai donc également recours.

Mais il serait sans doute bon de fournir d'abord quelques indications sur le sens des termes que je viens d'employer, en guise de guide sommaire. Le lecteur pourra revenir sur la section suivante après avoir parcouru l'ensemble de l'article.

Métalangage : Un métalangage est un langage analytique dont (1) le lexique est formé de termes définis univoquement et dont (2) les règles syntaxiques sont toutes explicites. Le principal métalangage utilisé dans cet article est la Théorie des Digraphes.

Métamythe : Ce terme signifie, dans le présent contexte, « structure », c'est‑à‑dire la somme des opérations métalinguistiques qui décrivent la génération du conte Cendrillon.

Analyse transformationnelle : On peut transformer un document dans un autre, ou une version ou une variante dans une autre, en définissant des règles qui expliqueront ce passage ou cette transformation. En bref, une transformation est la projection d'un élément d'un ensemble dans un autre ensemble. Cette projection peut être une substitution, une inversion, un renversement, etc. (pour explicitations, cf. E. Köngäs Maranda, résumé français à la fin de Perinteen transformaatiosääntöjen tutkimisesta, Virittäjä, 1970 ; et P. Maranda et E. Köngäs Maranda, Introduction, Structural Analysis of Oral Tradition, University of Pennsylvania Press, 1970). Une condition doit cependant être remplie : l'opération doit éviter l'entropie fonctionnelle, c'est‑à‑dire que l'ensemble sur lequel est faite la projection doit conserver ses propriétés formelles. Exemple : prenons comme ensemble toutes les rues à sens unique d'une ville ; procédons à une transformation par renversement : toutes les rues orientées nord‑sud deviendront orientées sud‑nord, etc., et l'ensemble conservera ses propriétés formelles. Mais si nous procédons à une transformation par enlèvement des contraintes, c'est‑à‑dire si toutes les rues deviennent à double sens, l'ensemble perd ses propriétés formelles, et nous devons définir un nouvel ensemble, un ensemble dont les caractéristiques de canalisation du trafic seront différentes et, par suite, dont les nouvelles propriétés formelles seront différentes des propriétés antérieures.

Théorie des ensembles. De ce qui précède, il faut conclure qu'il faut d'abord définir des ensembles et leurs propriétés formelles avant que d'essayer de définir des transformations (v. ci-dessous, Section 3).

Théorie des digraphes. Il existe deux types de graphes : les graphes non-orientés et les graphes orientés (ou « dirigés », d'où l'abréviation « digraphe »). Comme les premiers, les seconds consistent en points [124] et en chemins ou arcs ; mais alors que dans les graphes non-orientés les chemins sont des lignes, ils deviennent sagittaux dans les digraphes, où les pointes de flèches indiquent l'orientation. Le diagramme suivant illustre la différence :

Dans un graphe, les points sont des « termes » et les arcs, les « relations » entre ces termes. Ainsi, une carte routière est un graphe non-orienté où les points sont d'habitude des agglomérations et les arcs, des voies d'accès. Par contre, un itinéraire ou une feuille de route sont des digraphes puisque le point de départ, les escales et le point d'arrivée y sont indiqués et que, par conséquent, des relations d'ordre sont établies entre ces points (ainsi, on visitera d'abord Montréal, puis Toronto, puis Vancouver, ou d'abord Toronto, puis Vancouver, puis Montréal, etc., selon l'ordre défini par soi‑même ou par l'agent de voyages).

Dans le cadre de cet article, il suffira d'introduire encore deux concepts de la théorie des digraphes, ceux d'arc signé ou non-signé, et celui de la puissance d'un point.

Nous avons vu que points et arcs orientés sont les éléments dont nous aurons besoin. Disons maintenant qu'un arc non-signé ne dit rien de la nature des relations qu'il représente, tandis qu'un arc signé représente soit une relation négative (ligne brisée) soit une relation positive (ligne continue). Les arcs signés ont été couramment utilisés en psychologie et pour la construction de sociogrammes. Par exemple, pour représenter dans un digraphe l'amour de Pyrrhus pour Andromaque dans la tragédie de Racine, on aura un arc continu ; pour représenter la haine d'Oreste envers Pyrrhus, on aura un arc brisé, comme dans ce diagramme :

Le dernier concept dont nous nous servirons est celui de la puissance d'un point (d'autres concepts, tels « connexité », « cycle », « degré d'articulation », « matrice associée », etc., seraient aussi fort utiles si nous voulions pousser l'analyse plus loin que la présente esquisse ; pour exemples, se reporter à l'étude mentionnée plus bas, en 2.0, Le Crâne et l'utérus).

La puissance d'un point se mesure en terme du nombre d'arcs dont il est soit la source, soit le récepteur. Évidemment, la puissance d'un point non relié à un autre — un « isolat » — est 0. Quant aux points reliés à d'autres, on parle de leurs degrés, ceux‑ci étant de deux types, à savoir l'émission et la réception. Un point à la source d'un arc a donc 1 degré d'émission (ou 1 demi-degré extérieur, puisque la [125] relation va depuis ce point jusqu'à un autre), et inversement pour un point qui reçoit un arc : ce dernier aura 1 degré de réception (ou 1 demi-degré intérieur, puisque la relation va depuis un autre point jusqu'à lui). La notion ci‑après sera d+ pour représenter le degré d'émission, et d- pour le degré de réception.

Reprenons l'exemple routier et celui d'Andromaque. Imaginons une place, dans une ville, d'où émanent deux rues à sens unique, une a double sens, et à laquelle conduisent deux rues à sens unique. Le tableau ci‑dessous définit ce point (la place) digraphiquement.

Dans Andromaque, nous trouvons que la puissance d'action d'Oreste est supérieure a celle de Pyrrhus, et que la puissance de motivation de celui-ci est supérieure a celle d'Oreste puisque d+ (Oreste) = 2 quand d+ (Pyrrhus) = 1 et d- (Pyrrhus) = 2.

Cette introduction devrait permettre au lecteur de suivre plus facilement les opérations analytiques sur le point de commencer.

1. Résumé du conte

Prévoyant la conclusion de la formalisation à l'aide de graphes, je regroupe les quatre épisodes retenus par Delarue-Tenèze en trois. Leur troisième, « Rencontre avec le prince », n'en formera plus qu'un avec leur quatrième, « Preuve et mariage ». Cette opération est légitime avant même qu'on connaisse les graphes, parce que « preuve » n'ajoute qu'un élément métonymique (pour le prince, la chaussure perdue est à la fois une énigme et une clé : métonymie comme partie du costume de Cendrillon ; métaphore comme structure de l'équation dont la femme recherchée est l'inconnue).

I. L'héroïne persécutée.

A. L'héroïne a deux demi-sœurs [(qui) dont la mère la persécute(nt)].

II. L'aide magique.

B. Alors que ses (sa) demi-soeur(s) vont (va) au bal... l'héroïne doit rester à la maison.

[126]

C. L'héroïne est aidée... par un être secourable...

D. L'héroïne obtient de l'être secourable... tout un équipage.

III. La rencontre avec le prince.

A L'héroïne ainsi parée se rend au bal.

B Le prince n'a d'yeux que pour l'Héroïne.

[IV]. Preuve et mariage.

E. Heureux mariage.

2. Graphes

La théorie des graphes est un instrument utile pour mettre en relief de façon précise les relations entre des termes ‑ici, les personnages de Cendrillon (pour une application, plus élaborée, à l'analyse de la parenté et du rituel, v. Maranda et Köngäs Maranda, « Le Crâne et l'utérus ; Deux Théorèmes nord-malaitains », Échanges et Communications, Mouton, 1970, vol. 2).

2.1. Définitions

F, = Cendrillon, fille de P

M = marraine fée

+M = mère défunte de F,

P = père de F,

E = épouse de P, marâtre de F,

R = fils du roi

F2, F, = filles de E, demi‑sœurs de F,

Ces symboles, représentant des rôles plutôt que des actants (v. Greimas, Du Sens, p. 249 sqq), renvoient à des ensembles paradigmatiques (v. infra 4.3).

Relations de parenté (v. Maranda, « Kinship Semantics », Anthropos, 1964) :

A = alliance

G' = génération

G' = demi-génération (step-relative)

G’ " = parrainage

S = demi-sibling

[127]

Relations d'émission et de réception

d+(x₁) = degré d'émission (ou demi-degré extérieur d'un point x₁) : nombre d'arcs issus du point x₁ dans un graphe.

d-(x₁) = degré de réception (ou demi-degré intérieur d'un point xi) : nombre d'arcs aboutissant au point x₁ dans un graphe.

Interaction

2.2. Parenté et mariage :
le foyer d'origine et la constitution d'un nouveau foyer

Épisode I

d + (F₁) = d + (P) = d + (E) = d + (T₂, ₃) = 3

d-(F₁) = d-(P) = d-(E) = d-(F₂, ₃) = 3

Nous sommes donc en présence d'un foyer d'origine en équilibre, où tout membre, en principe, et en vertu des relations de parenté, a accès à tout autre. Le graphe représentant l'épisode I est donc fortement connexe. (On pourrait remarquer dès maintenant, anticipant 2.3, pour éviter le piège ethnocentrique, que C n'est pas toujours une relation cordiale, et que ni S ni G" ne sont pas toujours des relations tendues ; cf. les relations d'amitié entre marâtre et/ou parâtre et les enfants de l'époux dans le folklore islandais).

Épisode II

Apparition d'un cinquième point, M, où d + (M) = d - (M) = 1 , d+ et d- restent constants pour tous les autres points sauf pour F₁, où d+(F₁) = d-(F₁) = 4. Aux composantes du foyer d'origine s'est maintenant ajoutée une aide surnaturelle, avec la conséquence que d±(F₁) passent de 3 (épisode 1) à 4.

[128]

Épisode III

Apparition d'un sixième point, R, où d+(R) = d - (R) = d + (M) = d - (M) = 1.

d± restent constants pour P, E, F₂, ₃. Pour F₁, maximum atteint ; d± (F₁) = 5.

Le nouveau foyer est maintenant constitué ; avec le résultat de l'augmentation de d±(F₁) qui passent de 3 à 5, tandis que les autres personnages demeurent constants quant à leurs degrés respectifs d'émission et de réception ; l'action a parcouru son cours.

2.3. Interaction.

L'armature fournie par les relations de parenté ne révèle rien d'autre que leur accumulation progressive par Cendrillon.

Les relations d'action en disent davantage.

Épisode I

d ± (P) = d ± (F₂, ₃) = 0
d + (F₁) = 0, d - (F₁) = 1
d - (E) = 0, d + (F₁) = 1

Lors du passage de la structure du foyer à celle de l'action, P et F₂, ₃ disparaissent et le graphe est réduit à deux points entre lesquels existe une relation de refus de prestations. (Dans certaines versions, il est explicitement dit que Cendrillon fait office de bonne pour sa marâtre et/ou ses demi‑sœurs ; la relation devient alors symétrique quant à la forme, F₁ «----» E, et non réciproque quant au contenu).

Épisode II

[129]

d ± (P) = d ± E (E) = d ± (F₂, ₃) = 0

d + (F₁) 0, d - (F₁) = 1

d - (M) = 0, d + (M) = 1

On ne trouve donc ici, comme dans l'épisode 1, encore qu'une relation, non symétrique, mais complémentaire quant au contenu de celle de l'épisode 1 ; la cible reste cependant F₁.

Épisode III

Relation symétrique, également quant à la forme et quant au contenu. Que cette relation soit d'assistance mutuelle et de prestations-contre-prestations repose sur la théorie du don telle qu'élaborée par Mauss.

Conséquemment, les personnages actifs sont, par épisode ;

I : E

II : M

III: F₁, R

Et Cendrillon ne devient active, d + (F₁) = 1, que dans l'épisode III, son rôle étant strictement passif dans les épisodes I et II. Point d'articulation entre les deux foyers, Cendrillon n'est telle que parce que deux forces opposées s'y rencontrent dans leur conflit. Elle est donc, en fait, seulement le prétexte du conte, comme tout héros, et ne saurait en constituer la fonction élémentaire ; celle-ci ne sera révélée que lorsque les deux forces en conflit, dont le conflit forme précisément la matrice du mythe, seront adéquatement analysées.

(Il faut ajouter que, dans les versions dont l'épisode terminal comporte une réconciliation, le personnage de Cendrillon devient plus important puisque, alors, son degré de réception demeurant constant, D+(F₁) = 3.)

On a donc (1) une structure d'action interne au foyer d'origine A ; (2) l'introduction d'une relation complémentaire, A, en provenance [130] de l'extérieur du foyer d'origine (bien que accès y soit donné en vertu de la relation de parrainage) ; et (3) une relation symétrique et réciproque. Notre structure élémentaire reçoit ainsi une première formulation,

G''' opérant sur AG'' ^-1 donne A.

En d'autres mots, la bienveillance d'un parent spirituel déjoue la malveillance d'un demi-parent et peut ainsi permettre l'établissement d'une relation d'alliance.

3. Ensembles

La formalisation de Cendrillon à l'aide de graphes a suggéré d'isoler deux niveaux stratégiques (ou « isotopies » dans les termes de Greimas) pour l'analyse : structures familiales, et interaction. Les premières en termes d'extraction d'un foyer d'origine, la seconde par l'opération d'une force réduisant celle de l'antagoniste. Nous allons maintenant reprendre l'analyse avec des outils différents. La théorie des ensembles va nous en apprendre davantage sur les mécanismes structuraux à l'œuvre dans le conte.

3.1. Définition

Univers : ensemble universel, ou univers du discours, c'est-à-dire l'ensemble de tous les ensembles objets de l'étude p. ex., tous les alphabets des langues écrites, tous les mythes recueillis dans une ou plusieurs sociétés.

Ensemble : collection d'objets bien définis de nature quelconque ; un ensemble est défini soit par la liste de ses membres, soit par une règle d'appartenance énonçant des propriétés critères. Un ensemble défini par liste ou énumération serait, p. ex., les voyelles de l'alphabet, [a, e, i, o, u] ; de même, les personnages de Cendrillon, [F₁, P, E, F₂, F₃, M, R]. Un ensemble défini par une règle serait, p. ex., les labio‑vélaires ; les pays scandinaves ; les relations de parenté dans le folklore européen. B = [P | Pε Scandinavie], c'est-à-dire « B est l'ensemble des pays P tels que situés en Scandinavie » ;

A = [Rp | Rpε folklore européen], c'est-à-dire « A est l'ensemble des relations de parenté telles que trouvées dans le folklore européen ».

Sous-ensemble : Un ensemble dont les membres sont membres d'un ensemble plus grand. Ainsi, l'ensemble [voyelles] est un sous-ensemble de l'ensemble [lettres de l'alphabet] ; l'ensemble [personnages de Cendrillon] est, un sous-ensemble de [personnages folkloriques].

Complément : l'ensemble de tous les éléments résiduels, une fois qu'un ensemble a été défini. Ainsi, dans l'univers U = lettres de l'alphabet, le complément de l'ensemble [voyelles] est l'ensemble [131] [consonnes], et, inversement, le complément de l'ensemble [consonnes], est l'ensemble [voyelles].

Nous n'aurons affaire qu'à des ensembles finis et, plus particulièrement, à l'ensemble des personnages de Cendrillon. Ceux‑ci seront d'abord groupés par liste (3.2), puis par règles (3.3). Enfin, l'action sera explorée en termes de compléments.

3.2. Définition par liste des ensembles
formés par les personnages de Cendrillon

3.3. Définition par règle des ensembles
formés par les personnages de Cendrillon.

Règles formulées en prenant appui sur l'ethnologie.

Règle 1 : grouper les personnages par sexe.

Passant de I à II, on observe l'élimination de l'ensemble à membre unique [P], et, passant, de I à III, la substitution de [P] par [R]. De I à II, on a aussi la substitution du sous‑ensemble [E, F₂, F₃] par [M]. Dans III, seuls demeurent une femme et un homme ; la femme a toujours été présente tandis que l'époux se substitue au père.

Règle 2 : grouper les personnages par relations de consanguinité,
d'alliance, et de parrainage.

On voit que les relations d'alliance regroupent le plus grand nombre de personnages - en fait, tous sauf la marraine (dont l'existence est due à une alliance précédente, P et +M, dont F₁ est issue).

Application simultanée des règles 1 et 2 (ne retenir que les groupes de personnages du même sexe pour chaque relation) :

[132]

Les mâles sont complètement éliminés : le conte est à première vue une affaire entre femmes. Cependant, ce sont les relations d'alliance qui regroupent le plus grand nombre de personnages : on ne peut avoir alliance sans trouver quelque part deux sexes.

En vertu de [E, F₂, F₃], le conteur sera en mesure de réduire [F₂, F₃] à [E] pour une action ramassée, ou de développer à sa guise si, p. ex., il a beaucoup de temps à sa disposition, ou si son auditoire montre beaucoup d'intérêt, en donnant de l'expansion à [F₁, F₂, F₃].

Revenons aux relations d'alliance. L'application simultanée des règles 1 et 2 nous permet d'isoler les résidus suivants (produit cartésien hommes  femmes).

La structure de l'action est donc la suivante :

[133]

3.4. Structure de l'action

3.4.1. Commencement et fin. Pour une femme, l'univers des hommes consiste soit en consanguins, soit dans le complément de cet ensemble, les non-consanguins (= alliés et étrangers). Ici, le commencement décrit une fille vivant avec son père ; la fin, la même fille vivant avec un époux, devenue membre d'un foyer étranger. On passe du foyer d'origine à un nouveau foyer et, en même temps, d'une relation de consanguinité à une relation d'alliance. Et ceci par une double inversion, un flip‑flop en langage machine.

3.4.2. Milieu. Nous avons restreint la structure de l'action à celle d'un flip-flop, à une double inversion de la consanguinité (présente au début, absente au terme) et de l'alliance (dont F, était la victime au début, partie essentielle au terme). Il faut maintenant aller plus loin et chercher à isoler le ou les opérateurs de cette double inversion.

3.4.3. Le tout. Un double flip-flop résume le conte ; notons qu'on n'a aucunement besoin des hommes, sauf au départ et à l'arrivée.

Cette formulation rejoint celle proposée par Lévi-Strauss comme [134] canonique pour le mythe, et on y arrive au terme d'un chemin plus clairement tracé. C'est là une structure du type modèle IV décrite ailleurs (Köngäs Maranda et Maranda, Structural Models in Folklore and Transformational Essays). Plus immédiatement, nous tirons les conclusions, pour notre recherche de la structure élémentaire de Cendrillon, que (1) ce sera une structure à double inversion - ce qui est le cas d'un grand nombre de mythes, contes, etc. — et que (2) cette double inversion opère à partir de deux ensembles, consanguinité ; assistance. Ajoutons que, si nous voulions explorer davantage les implications des systèmes de parenté européens, il serait légitime de proposer comme ensembles consanguinité (P) et demi-alliance (E), et demi-consanguinité (M) et alliance (époux, A).

Prenons maintenant le nom de Cendrillon et sa sémantique de « condition minable ». Selon une typologie du « mercredi des cendres », on écrira :

Alors, F₁ n'est que le point d'intersection de deux agents ou opérateurs. C'est rejoindre la conclusion de la formalisation par les graphes. Cosmologique, le conte montre que si les « humbles seront exaltés », c'est parce que rien n'est impossible aux fées (ou autres pouvoirs surnaturels, agissant ici en connexion avec la mère défunte dans la plupart des cas). Le « carême » de Cendrillon et ses « Pâques hypergamiques » ne servent qu'à manifester la puissance de sa marraine. Celle-ci le doit à sa gloire de combler Cendrillon de ses bienfaits - et à cette fin, les représentations collectives construisent dans les sociétés européennes, des marâtres et des princes.

Il nous faut maintenant serrer de plus près notre conte pour en arriver à une structure élémentaire qui soit plus univoque, c'est-à-dire moins générale.

4. Structure élémentaire
(v. supra, 2.3 et 3.3)

4.1. Père et époux.

La forme la plus simple (≠ Urform) du conte serait celle gravitant autour du thème de l'oppression par le père. On peut y réduire Cendrillon par l'application de la règle 2 à l'épisode 1, par retrait du sous-ensemble [E, F₁, F₃]

Retournons aux graphes : 2.2 et 2.3 deviennent alors, avec la restriction imposée,

[135]

Or il se trouve que cette version élémentaire existe, comme en fait foi I'Aarne-Thompson, Type 510, 1, « The persecuted heroine... (b) flees... from her father who wants to marry her... T41 1.1 Lecherous father. S322.1.2 Father casts daughter forth when she will not marry him » (p. 175). Oppression, pour sûr, et qui va jusqu'aux poursuites incestueuses.

4.2. Marâtre et marraine.

Que ce soit une marraine, un objet magique trouvé sur la tombe de la mère de Cendrillon, ou la mère elle-même sous une autre forme, etc., qui intervienne à titre secourable, cela montre bien que ces acteurs constituent un ensemble paradigmatique.

Le tableau ci-dessous, rédigé d'après Aarne-Thompson (p. 175), en fait foi.

ENSEMBLES PARADIGMATIQUES

F₁ = stepdaughter heroine = abused youngest daughter = unpromising heroine = hearth abode of unpromising hero (heroine), etc.

M = dead mother returns to aid persecuted daughter = magic object received from mother = magic object found on mother's grave, etc.

On peut aussi avoir E = P, comme ci‑dessus, 4.2.

4.3. Termes et relations nécessaires et suffisants

[136]

Ainsi, « La Belle au Bois dormant » n'est pas du même type structural que « Cendrillon » ; par contre, « Peau d'Ane » y appartiendra, le fait que ce dernier conte puisse être considéré comme une structure en miroir ne soyant pas pertinent. (On se souvient que, dans « Peau d'Ane », la princesse devient souillon pour échapper aux menées incestueuses de son père, le roi).